最优化——线性规划中最大规划和最小规划之间的转换 -ag凯发k8国际
max∑j=1ncjxj⇒−(min∑j=1n−cjxj)x=(xi...xn)t∈ω\max \sum_{j=1}^{n} c_{j} x_{j} \quad\quad\quad\quad\rightarrow\quad\quad\quad\quad -(\min \sum_{j=1}^{n} -c_{j} x_{j}) \\ x=(x_i...x_n)^t \in \omega maxj=1∑ncjxj⇒−(minj=1∑n−cjxj)x=(xi...xn)t∈ω
对于上面的转化的解析：
假设存在xopt=(k1...kn)x_{opt}=(k_1...k_n)xopt=(k1...kn)使得max∑j=1ncjxj\max \sum_{j=1}^{n} c_{j} x_{j}max∑j=1ncjxj成立，即：使得f(x)=c1x1 ...cnxnf(x)=c_1x_1 ...c_nx_nf(x)=c1x1...cnxn取值最大；
那么此xoptx_{opt}xopt一定使得f(−x)=−c1x1−...cnxnf(-x)=-c_1x_1-...c_nx_nf(−x)=−c1x1−...cnxn最小，即：使得min∑j=1n−cjxj\min \sum_{j=1}^{n} -c_{j} x_{j}min∑j=1n−cjxj成立。
但是上面只是求出了使得f(x)f(x)f(x)最大和f(−x)f(-x)f(−x)最小的xxx值xoptx_{opt}xopt，而max∑j=1ncjxj≠min∑j=1n−cjxj\max \sum_{j=1}^{n} c_{j} x_{j} \neq \min \sum_{j=1}^{n} -c_{j} x_{j}max∑j=1ncjxj=min∑j=1n−cjxj
所以最大规划和最小规划之间的转换还差最后一步即在min∑j=1n−cjxj\min \sum_{j=1}^{n} -c_{j} x_{j}min∑j=1n−cjxj前面加个负号，即max∑j=1ncjxj=min∑j=1n−cjxj)\max \sum_{j=1}^{n} c_{j} x_{j}=\min \sum_{j=1}^{n} -c_{j} x_{j})max∑j=1ncjxj=min∑j=1n−cjxj)
这样就成功转化了。
例题
可以试试手：从min到max转换
总结
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